Definición cardinal de la suma: dados dos números naturales a,b, se llama suma a+b al cardinal del conjunto A U B, siendo A y B dos conjuntos disjuntos de cardinales a y b, respectivamente.
Definición ordinal o recursiva de la suma: Esta manera de definir la suma corresponde a uno de los aspectos del aprendizaje de la noción de suma por los niños: " el seguir contando". En la práctica se puede decir que "Sumar es seguir contando", mientras que restar consiste en "contar hacia atrás" (descontar).
Propiedades de la suma:
Cierre: la suma de dos números naturales es otro numero natural.
Asociativa: (a+b) + c= a + (b+c), es decir, para sumar tres o mas números naturales pueden agruparse de dos en dos como se desee para calcular la suma.
Commutativa: a+b= b+a, es decir que el resultado de la suma no depende del orden en que se tomen los sumandos.
Existencia de elemento neutro: el natural 0; a + 0= 0+a=a, para todo a E N.
Tipos de problemas de suma por orden de dificultad:
1. Añadir/ Transformación: Tengo 3 caramelos y mi madre me da 2, ¿Cuántos caramelos tengo?
2. Reunir/ Parte-parte-todo: Hay 3 coches rojos y 2 verdes, ¿Cuántos coches hay?
3. Comparación: Pedro tiene 3 caramelos y Nuria 2 más que él, ¿Cuántos caramelos tiene Nuria?
Definición cardinal de la resta : La resta de números naturales no es cerrada pues no da como resultado un numero natural. Esto sucede cuando de un numero natural se intenta restar otro que es mayor. Así pues, la resta de dos números naturales dará como resultado un numero natural, es decir que solo tendrá sentido, cuando de un numero natural se reste otro menor o igual. En terminología propia de la resta, se llama minuendo al numero del cual se resta y sustraendo al numero que se resta, por tanto, en la resta a-b, a es el minuendo y b el sustraendo.
Ejemplos:
1.Pepito tiene cuatro caramelos y como se ha portado bien su mamá le permite comerse uno. Pepito come el de fresa ¿ Cuantos caramelos le quedarán a Pepito?
2.Se selecciona un grupo de 5 niñas y 2 niños para realizar una actividad, ¿Cuántas niñas hay más que niños? (comparación)
Definición ordinal de la resta: La resta puede entenderse como "inversa" de la suma en el sentido de que restar es "contar hacia atrás" o simplemente "descontar".
Ejemplo: 7-5 es descontar 5 a partir de 7: seis, cinco, cuatro, tres, dos (llegamos al dos); con lo que 7-5=2. De modo equivalente, 7-5 es el numero de siguientes de 5 que hay que contar para llegar a 7: seis, siete (son dos); es decir que 7-5=2.
Propiedades de la resta:
No es cerrada: La resta de dos números naturales, en general, no es otro numero natural. Las restas como 1-2 carecen de sentido.
No es asociativa: El resultado de la resta de tres o mas números naturales depende de cómo se agrupen de dos en dos para calcular la resta. Por ejemplo, la resta a-b-c debe hacerse necesariamente de izquierda a derecha: a-b-c= (a-b) -c.
No es commutativa: El resultado de la resta depende del orden en que se tomen los sumandos.
Carece de elemento neutro: a-0= a y 0-a carece de sentido.
Tipos de problemas de resta por orden de dificultad:
1. Quitar/ Transformación: Tengo 5 caramelos y doy 2 a mi hermano, ¿ con cuántos caramelos me quedo?
2. Separar/ Parte-parte-todo: Hay 5 coches y 2 son de color verde, ¿ cuántos coches hay de otro color?
3. Igualación: Tengo 3 caramelos y tú tienes 5, ¿ cuántos caramelos tienes tú más que yo?
4. Comparación: En un equipo de fútbol hay 3 niñas y 5 niños, ¿ cuántos niños que niñas hay en el equipo?
Algoritmos: proporciona la solución de un problema en un numero finito de pasos.
Ejemplo: 325= 3C + 2D + 5U
Este sistema de numeración es:
Posicional: el valor de cada cifra del numero depende del lugar que ocupa.
Auditivo: el valor del numero es la suma de sus distintos ordenes de unidades.
Dos posibles algoritmos de la resta:
Método "austriaco" o de compensación: De ocho a catorce van seis, me llevo una; tres mas una cuatro, a cinco una; de cinco a trece ocho, me llevo una; una y una dos a dos cero.
Método de "bases" o de transferencia posicional: A cuatro no le puedo quitar ocho, por tanto cojo una de las cinco decenas y las paso a unidades, lo que suponen catorce unidades, menos ocho me quedan seis; a cuatro decenas, tenía cinco pero he tomado una para convertirlas en unidades, le quito tres y me quedan una; como a tres centenas no les puedo quitar cinco, tomo una de las dos unidades de millar y las convierto en centenas...etc.
Orientaciones didácticas para la construcción significativa del algoritmo de la suma:
1. Comenzar con actividades que sugieran la necesidad de procedimientos para poder calcular sumas de números grandes.
2. Etapa manipulativa: Uso de material (ábaco, bloques multibase,etc).
3. Paso de la manipulación al lenguaje gráfico y simbólico.
Orientaciones didácticas para la enseñanza y aprendizaje del algoritmo de la resta:
Igual que en la suma
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